int sin ^{-1}left(sqrt{frac{x-a}{x}}right) d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}ight) d x$. $x = a \sec^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sec^2 	heta 	an 	heta \,

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$x \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}}-\sqrt{a x-a^2}+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}ight) d x$. $x = a \sec^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sec^2 	heta 	an 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sqrt{\frac{x-a}{x}} = \sin 	heta$,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int 	heta \cdot (2a \sec^2 	heta 	an 	heta) \, d	heta = 2a \int 	heta \sec^2 	heta 	an 	heta \, d	heta$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I = 	heta 	an^2 	heta - \int 	an^2 	heta \, d	heta = 	heta 	an^2 	heta - \int (\sec^2 	heta - 1) \, d	heta = 	heta \sec^2 	heta - 	an 	heta + C$. चूंकि $x = a \sec^2 	heta$,इसलिए $	heta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}}$ और $	an 	heta = \sqrt{\frac{x-a}{a}}$ प्राप्त होता है। अतः,$I = x \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}} - \sqrt{ax-a^2} + C$.

$\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}\right) d x=$

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