int frac{6x+5}{sqrt{6+x-2x^2}} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx$ है। अंश को $6x+5 = A \frac{d}{dx}(6+x-2x^2) + B$ के रूप में व्यक्त करते हैं। $6x+5 = A(1-4x) + B =

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$-3 \sqrt{6+x-2x^2} + \frac{13}{2\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right) + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx$ है। अंश को $6x+5 = A \frac{d}{dx}(6+x-2x^2) + B$ के रूप में व्यक्त करते हैं। $6x+5 = A(1-4x) + B = -4Ax + (A+B)$। गुणांकों की तुलना करने पर,$-4A = 6 \implies A = -\frac{3}{2}$ और $A+B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$। अतः,$I = \int \frac{-\frac{3}{2}(1-4x) + \frac{13}{2}}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx = -\frac{3}{2} \int \frac{1-4x}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx + \frac{13}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}}$। पहले भाग के लिए,$u = 6+x-2x^2$ लें,तो $du = (1-4x)dx$ होगा। समाकलन $-\frac{3}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{3}{2} (2\sqrt{u}) = -3\sqrt{6+x-2x^2}$ होगा। दूसरे भाग के लिए,$\int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{3 + \frac{x}{2} - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{49}{16} - (x-\frac{1}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right)$। दोनों को मिलाने पर,$I = -3\sqrt{6+x-2x^2} + \frac{13}{2\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx =$

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यदि $\int \tan (x - \alpha) \cdot \tan (x + \alpha) \cdot \tan 2 x \ d x = p \log |\sec 2 x| + q \log |\sec (x + \alpha)| + r \log |\sec (x - \alpha)| + c$ है,तो $p + q + r = . . . . . .$

मान लीजिए $f(x)=7 \tan^8 x + 7 \tan^6 x - 3 \tan^4 x - 3 \tan^2 x$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx$ है। तो $7 I_1 + 12 I_2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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