int e^{2x+3} sin 6x , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$ है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = \sin 6x$

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$\frac{e^{2x+3}}{40}(2 \sin 6x - 6 \cos 6x) + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$ है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = \sin 6x$ और $dv = e^{2x+3} \, dx$ लें। अतः $du = 6 \cos 6x \, dx$ और $v = \frac{e^{2x+3}}{2}$ प्राप्त होता है। $I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} \cdot 6 \cos 6x \, dx = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$। पुनः $\int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \cos 6x, dv = e^{2x+3} \, dx \implies du = -6 \sin 6x \, dx, v = \frac{e^{2x+3}}{2}$। $I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \left[ \frac{e^{2x+3}}{2} \cos 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} (-6 \sin 6x) \, dx \right]$। $I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9 \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$। $I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9I$। $10I = \frac{e^{2x+3}}{2} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C$। $I = \frac{e^{2x+3}}{20} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C = \frac{e^{2x+3}}{40} (2 \sin 6x - 6 \cos 6x) + C$।

$\int e^{2x+3} \sin 6x \, dx =$

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