यदि I = int sin(log x) , dx है,तो I का मान क् | vedclass

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Question

(B) माना $\log x = t$,तब $x = e^t$। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \

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$\frac{x}{2}(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

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(B) माना $\log x = t$,तब $x = e^t$। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \sin(t) e^t \, dt$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \sin t$ और $dv = e^t \, dt$ लेने पर,$du = \cos t \, dt$ और $v = e^t$ प्राप्त होता है। $I = e^t \sin t - \int e^t \cos t \, dt$। पुनः $\int e^t \cos t \, dt$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = e^t \sin t - [e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) \, dt]$। $I = e^t \sin t - e^t \cos t - \int e^t \sin t \, dt$। $I = e^t \sin t - e^t \cos t - I$। $2I = e^t(\sin t - \cos t) + c$। $t = \log x$ और $e^t = x$ प्रतिस्थापित करने पर: $2I = x(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + c$। $I = \frac{x}{2}(\sin(\log x) - \cos(\log x)) + c$।

यदि $I = \int \sin(\log x) \, dx$ है,तो $I$ का मान क्या होगा?

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समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int (e^{\log(\sin x)} + \cos x) x \, dx$

फलन का समाकलन कीजिए: $x^{2} e^{x}$

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