int_0^1 x operatorname{Sin}^{-1} x , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) समाकलन $I = \int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \operatorname{Sin}^{-1} x$ और $dv = x \, dx$. तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$. सूत्र लागू करने पर: $I = \left[ \frac{x^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1} x ight]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$. पहले भाग का मान: $\left[ \frac{1^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1}(1) - 0 ight] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$. दूसरे भाग के लिए,माना $J = \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$. $x = \sin 	heta$,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्रतिस्थापन करने पर। $J = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta \cos 	heta}{\cos 	heta} \, d	heta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta \, d	heta$. $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $J = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2	heta) \, d	heta = \frac{1}{4} \left[ 	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$. अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

$\int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx =$

Similar Questions

$\int_{-1}^{2} {|x|\,dx} =$ ($/2$ में)

समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{1}{7^{\left[\frac{1}{x}\right]}} dx$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,किसके बराबर है?

मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। फलन $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ पर विचार करें। तब समाकल $\int_0^2 f(x) dx$ का मान है:

$\int_0^{\pi / 4} x^2 \sin 2x \, dx =$

$\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module