int_0^{pi /2} {frac{{dx}}{{2 + cos x}}} = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} $. सर्वसमिका $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 = \sin^2 \frac{x}{2} +

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$\frac{2}{{\sqrt 3 }}{	an ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} ight)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} $. सर्वसमिका $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 + \cos x = 2(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}$. अतः,$I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{\sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}}}} $. अंश और हर को $\cos^2 \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\sec^2 \frac{x}{2}}}{{3 + 	an^2 \frac{x}{2}}}} dx$. माना $t = 	an \frac{x}{2}$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 dt$. जब $x = 0$,तब $t = 0$. जब $x = \pi/2$,तब $t = 	an(\pi/4) = 1$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$. सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = 2 [\frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}})]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} = $

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