int_0^{pi /2} {frac{{dx}}{{2 + cos x}}} = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} $. નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \sin^2 \frac{x}{2}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{{\sqrt 3 }}{	an ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} ight)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} $. નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 + \cos x = 2(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}$. આમ,$I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{\sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}}}} $. અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\sec^2 \frac{x}{2}}}{{3 + 	an^2 \frac{x}{2}}}} dx$. ધારો કે $t = 	an \frac{x}{2}$,તો $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 dt$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $x = \pi/2$,ત્યારે $t = 	an(\pi/4) = 1$. આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$. સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = 2 [\frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}})]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

$\int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}}} = $

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{k=1}^n \sin^{k-1} x\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) \sin^{k-1} x\right) \cos x \, dx$,જ્યાં $n \in N$. તો $f_{21} - f_{20}$ ની કિંમત $...........$ છે.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો:

જ્યારે $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,ત્યારે $y = xe^{-ax}$ ના આલેખ હેઠળના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો,જ્યાં $'a'$ એ ધન અચળાંક છે.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module