નિશ્ચિત સંકલન int_{0}^{frac{pi}{2}} sin x sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$. ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$. ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin x \sin 3x = \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(4x)]$. આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(4x)] \sin 2x \, dx$ $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\sin 2x \cos 2x - \sin 2x \cos 4x] \, dx$ $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$ અને $\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} [\sin(6x) - \sin(2x)]$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 4x - \frac{1}{2} \sin 6x + \frac{1}{2} \sin 2x] \, dx$ $I = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\sin 4x - \sin 6x + \sin 2x] \, dx$ પદવાર સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{4} [-\frac{\cos 4x}{4} + \frac{\cos 6x}{6} - \frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ સીમાઓ મૂકતા: $I = \frac{1}{4} [(-\frac{\cos 2\pi}{4} + \frac{\cos 3\pi}{6} - \frac{\cos \pi}{2}) - (-\frac{\cos 0}{4} + \frac{\cos 0}{6} - \frac{\cos 0}{2})]$ $I = \frac{1}{4} [(-\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2})]$ $I = \frac{1}{4} [-\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{3}] = \frac{1}{4} 	imes \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

$\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-x^2\right)} d x=$

$\int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો સંકર સંખ્યા $(1-\cos \theta+2 i \sin \theta)^{-1}$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\theta \in(0, \pi)$ માટે $\frac{1}{5}$ હોય,તો સંકલન $\int_{0}^{\theta} \sin x \,dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} = $

$x \in [0, 1]$ માટે $\int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt = 2x - 1$ હોય તેવી ભિન્ન $x$ ની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module