x in [0, 1] માટે int_0^x frac{t^2}{1+t^4} dt | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $x^4

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $x^4 + 1 \geq 2x^2$ હોવાથી,$\frac{x^2}{1+x^4} \leq \frac{1}{2}$ મળે.આમ,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2 \leq \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} બધા $x \in [0, 1]$ માટે $f'(x) અંતિમ બિંદુઓ તપાસતા:$f(0) = \int_0^0 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(0) + 1 = 1$.$f(1) = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(1) + 1 = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 1$.$t \in [0, 1]$ માટે $\frac{t^2}{1+t^4} $f(0) > 0$ અને $f(1) < 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત તથા ચુસ્ત ઘટતું હોવાથી,'Intermediate Value Theorem' મુજબ $[0, 1]$ માં $f(x) = 0$ થાય તેવું બરાબર એક જ બીજ $x$ મળે.

$x \in [0, 1]$ માટે $\int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt = 2x - 1$ હોય તેવી ભિન્ન $x$ ની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $h=1$ સાથે $\int_0^4 \frac{d x}{1+x^2}$ સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા શું મળે?

$\int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $\{x\}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે. તો $\int_0^2 \{x\} dx = $

ધારો કે $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\int_0^3 \left( \frac{e^x + e^{-x}}{[x]!} \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો:

$\int_1^2 {\log x\,dx} $ નું મૂલ્ય શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module