int_0^{pi / 2} frac{pi sin x}{1+cos ^2 x} d x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $-\sin x d x = d t$, या $\sin x d x = -d t$ प्रा

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$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $-\sin x d x = d t$, या $\sin x d x = -d t$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$, तब $t = \cos(0) = 1$.जब $x = \pi / 2$, तब $t = \cos(\pi / 2) = 0$.अतः समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \pi \int_1^0 \frac{-d t}{1+t^2} = \pi \int_0^1 \frac{d t}{1+t^2}$.मानक समाकलन $\int \frac{1}{1+t^2} d t = 	an^{-1}(t)$ का उपयोग करने पर:$I = \pi [	an^{-1}(t)]_0^1 = \pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(0))$.चूँकि $	an^{-1}(1) = \pi / 4$ और $	an^{-1}(0) = 0$ है:$I = \pi (\pi / 4 - 0) = \frac{\pi^2}{4}$.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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