int_0^1 frac{log _e(1+x)}{1+x^2} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $

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$\frac{\pi}{8} \log _e 2$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$,और जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$। अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$ ... $(i)$। गुणधर्म $\int_0^a f(	heta) d 	heta = \int_0^a f(a-	heta) d 	heta$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d 	heta$। चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$,इसलिए: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+	an 	heta}) d 	heta$। $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d 	heta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$। $I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$। $2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

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