int_0^1 frac{log _e(1+x)}{1+x^2} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	he

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8} \log _e 2$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{4}$. તેથી,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$ ... $(i)$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(	heta) d 	heta = \int_0^a f(a-	heta) d 	heta$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d 	heta$. $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$ હોવાથી: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+	an 	heta}) d 	heta$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d 	heta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$. $I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$. $2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

Similar Questions

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે, સંકલન $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ એ

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{-1}^{1} x \tan^{-1} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module