કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે, સંકલન int_0^pi e^{cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I =

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$કારણ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$, તેથી $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ થાય.વળી, $\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$.$(2n+1)$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી, $\cos((2n+1)\pi - 	heta) = -\cos 	heta$ થાય.તેથી, $\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે, સંકલન $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = $

$\int_0^\pi x (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx = $

$\tan ^{-1}\left[\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^x} d x\right]=$

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{7} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module