int_{-pi / 2}^{pi / 2} sin ^4 x cos ^6 x , dx | vedclass

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Question

(B) चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x \cos^6 x$ एक सम फलन है,इसलिए: $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos

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$\frac{3 \pi}{256}$

Vedclass · Answer

(B) चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x \cos^6 x$ एक सम फलन है,इसलिए: $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर: $I = 2 	imes \frac{\Gamma(\frac{4+1}{2}) \Gamma(\frac{6+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{4+6+2}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{7}{2})}{\Gamma(6)}$ $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ और $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ का उपयोग करने पर: $\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$ $\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}$ $\Gamma(6) = 5! = 120$ $I = \frac{(\frac{3}{4} \sqrt{\pi}) (\frac{15}{8} \sqrt{\pi})}{120} = \frac{45 \pi}{32 	imes 120} = \frac{3 \pi}{256}$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि किसी फलन $y=f(x)$ के लिए,$\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x)$,$x > 0$ और $f(2)=3$ है। तो $f(6)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

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