मान लीजिए कि किसी फलन y=f(x) के लिए,int_0^x t | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x} t f(t) dt = x^2 f(x)$ जहाँ $x > 0$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x f(

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$1$

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(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x} t f(t) dt = x^2 f(x)$ जहाँ $x > 0$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x f(x) = x^2 f'(x) + 2x f(x)$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 f'(x) = x f(x) - 2x f(x) = -x f(x)$. चूँकि $x > 0$,हम $x^2$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x}$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\int \frac{1}{x} dx$. $\ln|f(x)| = -\ln|x| + C = \ln|\frac{k}{x}|$,जहाँ $C = \ln|k|$ है। अतः,$f(x) = \frac{k}{x}$. दिया गया है कि $f(2) = 3$,इसलिए $3 = \frac{k}{2}$,जिसका अर्थ है $k = 6$. इस प्रकार,$f(x) = \frac{6}{x}$. अंततः,$f(6) = \frac{6}{6} = 1$.

मान लीजिए कि किसी फलन $y=f(x)$ के लिए,$\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x)$,$x > 0$ और $f(2)=3$ है। तो $f(6)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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