मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$ है। तो समीकरण $x^2 - f'(x) = 0$ के वास्तविक मूल हैं

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $45 x+5 y+3=0$ का ढाल $27 r_1+\frac{9 r_2}{2}$ है,जहाँ $r_1, r_2 \in R$ है। तब $\lim_{x \rightarrow 3} \left( \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt \right)$ का मान ................... है।

माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x \in R$ के लिए,मान लीजिए $\tan^{-1}(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब $f: R \rightarrow R$ फलन,जो $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{(t-\cos x)}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा परिभाषित है,का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {Lim}\limits_{k \to 0} \frac{1}{k} \int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx$