int_0^{pi / 2} sin ^8 x cos ^2 x , dx का मान | vedclass

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Question

(D) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{

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$\frac{7 \pi}{512}$

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(D) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.यहाँ, $m = 8$ और $n = 2$ है।इन मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(6)} = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \cdot 120}$.$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ का उपयोग करते हुए, $\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ और $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ है।अतः, समाकलन $\frac{(\frac{105}{16} \sqrt{\pi}) \cdot (\frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{240} = \frac{105 \pi}{32 \cdot 240} = \frac{7 \pi}{512}$ है।

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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