यदि I_n = int_0^a frac{x^n}{sqrt{a^2-x^2}} dx | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है, $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$। $x = a \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = a \cos 	heta d	heta$ प्राप्त ह

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$\frac{35}{48} a^4$

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(B) हमें दिया गया है, $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$। $x = a \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = a \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$, तब $	heta = 0$ और जब $x = a$, तब $	heta = \frac{\pi}{2}$। अतः, $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a^n \sin^n 	heta}{a \cos 	heta} \cdot a \cos 	heta d	heta = a^n \int_0^{\pi/2} \sin^n 	heta d	heta$। वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, सम $n$ के लिए $\int_0^{\pi/2} \sin^n 	heta d	heta = \frac{(n-1)(n-3)\dots(1)}{n(n-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2}$। $I_8 = a^8 \int_0^{\pi/2} \sin^8 	heta d	heta = a^8 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ight)$। $I_4 = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^4 	heta d	heta = a^4 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ight)$। इसलिए, $\frac{I_8}{I_4} = \frac{a^8 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} = a^4 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{48} a^4$।

यदि $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$ है, तो $\frac{I_8}{I_4} =$

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