int_0^pi x sin^4 x cos^6 x , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi -

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$\frac{3 \pi^2}{512}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$ चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ $I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx - I$ $2I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $m, n$ सम हों) का उपयोग करने पर: $I = \pi \left( \frac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{45}{3840} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{3}{256} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3 \pi^2}{512}$.

$\int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx =$

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$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx =$

मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$ है। तो समीकरण $x^2 - f'(x) = 0$ के वास्तविक मूल हैं

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$ का मान है

$\int_0^{x^2} \frac{t^2 - 5t + 4}{2 + e^t} \,dt$ के चरम बिंदु (points of extremum) हैं

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

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