समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$ का मान है

$\int_0^{\pi /2} \sin^{2m} x \, dx = $

द्वि-अवकलनीय फलन $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x, x \in R$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत विषम फलन है,जो केवल एक बिंदु पर शून्य होता है और $f(1) = \frac{1}{2}$ है। मान लीजिए कि $F(x) = \int_{-1}^x f(t) dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए और $G(x) = \int_{-1}^x t|f(f(t))| dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए है। यदि $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{1}{14}$ है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।