$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f, g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ दो फलन हैं जो $f(x)=\int_{-x}^x(|t|-t^2) e^{-t^2} dt$ और $g(x)=\int_0^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $(f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है, तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$,तो $\int_0^{\pi /2} f(x) dx = $

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जो $x > 0$ के लिए $f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\sqrt{3}} f \left(\frac{\lambda^{2} x}{3}\right) d\lambda$ और $f(1) = \sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है। यदि $y = f(x)$ बिंदु $(\alpha, 6)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha$ का मान $.........$ है।