द्वि-अवकलनीय फलन f(x) = int_{0}^{x} e^{x-t} f | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x$. लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = e^x \

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$-\frac{2}{\sqrt{e}}$

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(A) दिया गया है $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x$. लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt + e^x (e^{-x} f'(x)) - [(2x - 1) e^x + (x^2 - x + 1) e^x]$. चूँकि $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt$,इसलिए $f'(x) = f(x) + f'(x) - (x^2 + x) e^x$ प्राप्त होता है। यह सरल होकर $f(x) = (x^2 + x) e^x$ देता है। अब,$f'(x) = (2x + 1) e^x + (x^2 + x) e^x = (x^2 + 3x + 1) e^x$. $f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 + 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। न्यूनतम मान $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ पर प्राप्त होता है। इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर न्यूनतम मान $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

द्वि-अवकलनीय फलन $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x, x \in R$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान जहाँ $f'(x) = 0$ होता है,है:

$\int \limits_{0}^{\pi}|\cos x|^{3} dx$ का मान है

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

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