फलन f(x) = 1 + x + intlimits_1^x (ln^2 t + 2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $f'(x) = 1 + (\

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$1 + 2 e^{-1}$

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(D) दिया गया है $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $f'(x) = 1 + (\ln^2 x + 2 \ln x) = 0$. यह $(\ln x + 1)^2 = 0$ के रूप में सरल होता है,जिससे $\ln x = -1$ अर्थात $x = e^{-1}$ प्राप्त होता है। अब,$f(e^{-1}) = 1 + e^{-1} + \int\limits_1^{e^{-1}} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $\frac{d}{dt}(t \ln^2 t) = \ln^2 t + 2 \ln t$ है। अतः,$\int (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt = t \ln^2 t$ है। निश्चित समाकलन का मान रखने पर: $f(e^{-1}) = 1 + e^{-1} + [t \ln^2 t]_1^{e^{-1}} = 1 + e^{-1} + (e^{-1} \cdot (-1)^2 - 0) = 1 + 2e^{-1}$।

फलन $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान जहाँ $f'(x) = 0$ होता है,है:

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यदि $\int_{\sin x}^1 {{t^2}f(t)\;dt = 1 - \sin x} $,$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ है,तो $f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x) \, dx = $

वक्रों $y = \int\limits_{x^2}^{x^3} \sqrt{5 - t^2} \, dt$ और $x$-अक्ष के बीच का प्रतिच्छेदन कोण (जहाँ $x \neq 0$) ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

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