यदि f(x) = int_0^{pi/2} frac{ln(1 + x sin^2 t | vedclass

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Question

(D) माना $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करन

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ और $(B)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} ight) d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + x \sin^2 	heta} d	heta$. अंश और हर को $\sec^2 	heta$ से गुणा करने पर: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{\sec^2 	heta + x 	an^2 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{1 + (1+x) 	an^2 	heta} d	heta$. माना $u = \sqrt{1+x} 	an 	heta$,तब $du = \sqrt{1+x} \sec^2 	heta d	heta$. $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} \int_0^{\infty} \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}} [	an^{-1} u]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}}$. $f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $f(x) = \int \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}} dx = \pi \sqrt{1+x} + C$. चूंकि $f(0) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1)}{\sin^2 	heta} d	heta = 0$,इसलिए $\pi \sqrt{1} + C = 0 \implies C = -\pi$. अतः,$f(x) = \pi(\sqrt{x+1} - 1)$. $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

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फलन $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान जहाँ $f'(x) = 0$ होता है,है:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ का मान $.......$ है।

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