$\int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx =$

$x \in R$ માટે,ધારો કે $\tan^{-1}(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f: R \rightarrow R$ વિધેય,જે $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{(t-\cos x)}}{1+t^{2023}} dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $g(x) = \int_{\sin x}^{\sin(2x)} \sin^{-1}(t) \, dt$ હોય,તો

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x)=\int_{\frac{1}{x}}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$ દ્વારા આપેલ છે. તો
$(A)$ $f(x)$ એ $[1, \infty)$ પર એકવિધ વધતું વિધેય છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(0,1)$ પર એકવિધ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$,બધા $x \in(0, \infty)$ માટે
$(D)$ $f\left(2^x\right)$ એ $\mathbb{R}$ પર $x$ નું અયુગ્મ વિધેય છે