જો $g(x) = \int_{\sin x}^{\sin(2x)} \sin^{-1}(t) \, dt$ હોય,તો

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $x > 0$ માટે $f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\sqrt{3}} f \left(\frac{\lambda^{2} x}{3}\right) d\lambda$ અને $f(1) = \sqrt{3}$ નું સમાધાન કરે છે. જો $y = f(x)$ એ બિંદુ $(\alpha, 6)$ માંથી પસાર થતું હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.........$ છે.

વક્રો $y = \int\limits_{x^2}^{x^3} \sqrt{5 - t^2} \, dt$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો છેદકોણ (જ્યાં $x \neq 0$) શોધો:

આપેલ છે કે $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. બધા $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x)=\int_{\frac{1}{x}}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$ દ્વારા આપેલ છે. તો
$(A)$ $f(x)$ એ $[1, \infty)$ પર એકવિધ વધતું વિધેય છે
$(B)$ $f(x)$ એ $(0,1)$ પર એકવિધ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=0$,બધા $x \in(0, \infty)$ માટે
$(D)$ $f\left(2^x\right)$ એ $\mathbb{R}$ પર $x$ નું અયુગ્મ વિધેય છે

$\int_0^{\pi /2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $