mathop {Lim}limits_{k to 0} frac{1}{k} intlim | vedclass

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Question

(C) माना $L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx}{k}$.चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अं

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$e^2$

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(C) माना $L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx}{k}$.चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $k$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'Hopital नियम लागू करते हैं।कलन के मूलभूत प्रमेय (Leibnitz नियम) का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $(1 + \sin 2k)^{\frac{1}{k}}$ है और हर का अवकलन $1$ है।अतः,$L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} (1 + \sin 2k)^{\frac{1}{k}}$.यह $1^{\infty}$ के रूप में है,जिसे $e^{\mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{1}{k} \ln(1 + \sin 2k)}$ के रूप में हल किया जा सकता है।मानक सीमा $\mathop {Lim}\limits_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\ln(1 + \sin 2k)}{k} = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \left( \frac{\ln(1 + \sin 2k)}{\sin 2k} \cdot \frac{\sin 2k}{2k} \cdot 2 ight) = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ प्राप्त होता है।इसलिए,$L = e^2$.

$\mathop {Lim}\limits_{k \to 0} \frac{1}{k} \int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx$

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