int_{-pi}^pi frac{cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमे

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2022 !}{2^{2022}((1011) !)^2} \pi$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$  ...(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$चूंकि $\cos ^{2022} x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,अतः $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करने पर:$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

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$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{\sin x}^1 {{t^2}f(t)\;dt = 1 - \sin x} $,$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ है,तो $f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6 \implies f(x) = ?$

$\int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ का मान $.......$ है।

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