x in R के लिए,मान लीजिए tan^{-1}(x) in left(- | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = \int_0^{x 	an^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा

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(B) फलन $f(x) = \int_0^{x 	an^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।हालाँकि,फलन की संरचना को देखते हुए,हम ध्यान देते हैं कि $x=0$ के लिए,$f(0) = \int_0^0 \dots dt = 0$ होता है।$x 
eq 0$ के लिए,$x 	an^{-1} x > 0$ होता है क्योंकि $	an^{-1} x$ का चिह्न $x$ के समान ही होता है।चूंकि समाकल्य (integrand) $\frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}}$,$t \geq 0$ के लिए धनात्मक है,और ऊपरी सीमा $x 	an^{-1} x$ हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) है,इसलिए समाकलन $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।विशेष रूप से,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ और $f(0) = 0$ है।अतः,फलन का न्यूनतम मान $0$ है।

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$F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} \, dt$,$(x > 0)$ का अवकलज क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$,तो $\int_0^{\pi /2} f(x) dx = $

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x) \, dx = $

$\int \limits_{0}^{\pi}|\cos x|^{3} dx$ का मान है

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