int_{-pi / 2}^{pi / 2} sin ^2 x cos ^2 x(sin | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x$.हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\

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$\frac{4}{15}$

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(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x$.हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.माना $f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$. चूँकि $f(-x) = -f(x)$,$f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x = 0$.अब $g(x) = \sin ^2 x \cos ^3 x$ पर विचार करें। चूँकि $g(-x) = g(x)$,$g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.$u = \sin x$ लेने पर,$du = \cos x dx$. जब $x=0, u=0$; जब $x=\pi/2, u=1$.$I = 2 \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_{0}^{1} = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2 (\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x=$

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