int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} log left(fra | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin 	heta}{2+\sin 	heta}ight) d 	heta$. $f(	heta) = \log \left(\frac{2-\

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin 	heta}{2+\sin 	heta}ight) d 	heta$. $f(	heta) = \log \left(\frac{2-\sin 	heta}{2+\sin 	heta}ight)$ लें। अब,$f(-	heta)$ की गणना करके फलन की समता की जाँच करें: $f(-	heta) = \log \left(\frac{2-\sin(-	heta)}{2+\sin(-	heta)}ight) = \log \left(\frac{2+\sin 	heta}{2-\sin 	heta}ight)$. गुणधर्म $\log(x^{-1}) = -\log(x)$ का उपयोग करने पर: $f(-	heta) = \log \left(\left(\frac{2-\sin 	heta}{2+\sin 	heta}ight)^{-1}ight) = -\log \left(\frac{2-\sin 	heta}{2+\sin 	heta}ight) = -f(	heta)$. चूँकि $f(-	heta) = -f(	heta)$,इसलिए $f(	heta)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है। अतः,$I = 0$।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(t) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx$,$n \in N$,है,तो $f(t+\pi) =$

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो $\pi^{2} \int_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)(x-[x])^{[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

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