int_0^pi frac{x tan x}{sec x+tan x} d x का मा | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x+	an x} d x \quad ...(i)$ गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर: $I = \

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$\frac{\pi(\pi-2)}{2}$

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(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x+	an x} d x \quad ...(i)$ गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) 	an(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+	an(\pi-x)} d x$ चूंकि $	an(\pi-x) = -	an x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-	an x)}{-\sec x-	an x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) 	an x}{\sec x+	an x} d x \quad ...(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi \frac{x 	an x + (\pi-x) 	an x}{\sec x+	an x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi 	an x}{\sec x+	an x} d x$ $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$ अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर: $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$ $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x 	an x - 	an^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x 	an x - (\sec^2 x - 1)) d x$ $I = \frac{\pi}{2} [\sec x - 	an x + x]_0^\pi$ $I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - 	an \pi + \pi) - (\sec 0 - 	an 0 + 0)]$ $I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \, dx}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} = \alpha \pi + \beta \log _e(3+2 \sqrt{2})$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha^2+\beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

$\int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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