निश्चित समाकलन intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $d

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \ln 2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.जब $x = 0$,तो $	heta = 0$. जब $x = 1/2$,तो $	an 	heta = 1$,अतः $	heta = \pi/4$.समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए $I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) \,d	heta$.गुणधर्म $\int\limits_0^a f(x) \,dx = \int\limits_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) \,d	heta$.चूंकि $	an(\pi/4 - 	heta) = \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}$,इसलिए $1 + 	an(\pi/4 - 	heta) = 1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} = \frac{2}{1 + 	an 	heta}$.अतः,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \,d	heta = \frac{1}{2} [	heta \ln 2]_0^{\pi/4} - I$.$2I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \ln 2 = \frac{\pi \ln 2}{8}$.अतः,$I = \frac{\pi \ln 2}{16}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$ का मान किसके बराबर है?

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$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

$\int_{-5}^{5} \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) dx =$

$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$ का मान है

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin ^2 x+2 \cos ^2 x} d x=$

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