int_{0}^{pi / 2} log (operatorname{cosec} x) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है। चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{c

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$\frac{\pi}{2} \log 2$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ है। चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\log (\operatorname{cosec} x) = \log (\sin x)^{-1} = -\log \sin x$ होता है। अतः,$I = -\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x$ होगा। निश्चित समाकलन के मानक परिणाम $\int_{0}^{\pi / 2} \log \sin x d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = -(-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$।

$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

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समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$ का मान,जहाँ $a > 0$,है

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_5^9 \frac{\log_3 x^2}{\log_3 x^2 + \log_3(588 - 84x + 3x^2)} dx =$

माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो:

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