int_{0}^{1} frac{log (1+x)}{1+x^{2}} d x का म | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^{2} 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।जब

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$\frac{\pi}{8} \log 2$

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(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^{2} 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तो $	heta = 0$,और जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$.अतः,$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log (1+	an 	heta)}{1+	an^{2} 	heta} (\sec^{2} 	heta) d 	heta = \int_{0}^{\pi/4} \log (1+	an 	heta) d 	heta \quad ...(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+	an \left(\frac{\pi}{4}-	hetaight)ight] d 	heta$$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}ight] d 	heta = \int_{0}^{\pi/4} \log \left(\frac{2}{1+	an 	heta}ight) d 	heta$$I = \int_{0}^{\pi/4} [\log 2 - \log (1+	an 	heta)] d 	heta \quad ...(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi/4} \log 2 d 	heta = \log 2 [	heta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{0}^{1} \tan ^{-1} x \, dx = p$ है,तो $\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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