यदि int_{-pi / 2}^{pi / 2} frac{8 sqrt{2} cos | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(1)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \

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$8$

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(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(1)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \cdot e^{\sin x}}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx$$I = \int_{0}^{1} \frac{8 \sqrt{2}}{1+t^4} \, dt$ (जहाँ $\sin x = t$)इस समाकलन को हल करने पर हमें प्राप्त होता है $I = 2\pi + 2 \ln (3+2\sqrt{2})$अतः,$\alpha = 2$ और $\beta = 2$.परिणामस्वरूप,$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 2^2 = 8$.

यदि $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \, dx}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} = \alpha \pi + \beta \log _e(3+2 \sqrt{2})$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha^2+\beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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