प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,f_n(x) = m | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ जहाँ $x \in [0, 1]$ है।चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ के लिए $\frac{

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$2\sqrt{e} - 3$

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(A) दिया गया है $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ जहाँ $x \in [0, 1]$ है।चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ के लिए $\frac{x^n}{n!} \leq \frac{(1-x)^n}{n!}$ और $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ के लिए $\frac{(1-x)^n}{n!} \leq \frac{x^n}{n!}$ है,हमें प्राप्त होता है:$I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-x)^n}{n!} dx$.सममिति द्वारा,$I_n = 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx = 2 \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \right]_{0}^{1/2} = 2 \frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.अब,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.मान लीजिए $k = n+1$,तो $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{k-1}}{k!} = 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!}$.चूँकि $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$,इसलिए $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!} = e^{1/2} - (1 + 1/2) = \sqrt{e} - \frac{3}{2}$.अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = 2(\sqrt{e} - \frac{3}{2}) = 2\sqrt{e} - 3$.

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