દરેક ધન પૂર્ણાંક n માટે,f_n(x) = minleft(frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ માટે $\frac{x^n}{n!} \l

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{e} - 3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ માટે $\frac{x^n}{n!} \leq \frac{(1-x)^n}{n!}$ અને $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ માટે $\frac{(1-x)^n}{n!} \leq \frac{x^n}{n!}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:$I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-x)^n}{n!} dx$.સંમિતિ દ્વારા,$I_n = 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx = 2 \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \right]_{0}^{1/2} = 2 \frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.હવે,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.ધારો કે $k = n+1$,તો $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{k-1}}{k!} = 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!}$.$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ હોવાથી,$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!} = e^{1/2} - (1 + 1/2) = \sqrt{e} - \frac{3}{2}$.આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = 2(\sqrt{e} - \frac{3}{2}) = 2\sqrt{e} - 3$.

Similar Questions

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x} \, dx}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \\ 2, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ હોય,તો $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,જ્યાં $0 < t < \pi$,તો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ નું મૂલ્ય .......... થાય.

જો $f(x) = f(a-x)$ હોય, તો $\int_0^a x f(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module