જો f(t) = int_0^pi frac{2x , dx}{1 - cos^2 t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.ગુણધર્મ $\int_0^a g(x) \, dx = \int_0^a g(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(t) = \in

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.ગુણધર્મ $\int_0^a g(x) \, dx = \int_0^a g(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(t) = \int_0^\pi \frac{2(\pi - x) \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.$f(t)$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2f(t) = \int_0^\pi \frac{2x + 2\pi - 2x}{1 - \cos^2 t \sin^2 x} \, dx = \int_0^\pi \frac{2\pi \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.તેથી,$f(t) = \pi \int_0^\pi \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.વિધેય $x = \frac{\pi}{2}$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{\sec^2 x - \cos^2 t 	an^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + 	an^2 x - \cos^2 t 	an^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + \sin^2 t 	an^2 x}$.ધારો કે $	an x = z$,તો $\sec^2 x \, dx = dz$. જ્યારે $x 	o 0, z 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \frac{\pi}{2}, z 	o \infty$:$f(t) = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{dz}{1 + (\sin t \cdot z)^2} = 2\pi \left[ \frac{1}{\sin t} 	an^{-1}(\sin t \cdot z) ight]_0^{\infty} = 2\pi \cdot \frac{1}{\sin t} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{\sin t}$.હવે,સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{f(t)} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{\pi^2 / \sin t} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt$.$= [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -(0 - 1) = 1$.

જો $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,જ્યાં $0 < t < \pi$,તો $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ નું મૂલ્ય .......... થાય.

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x \sin x}{\cos^{3} x + \cos x} dx = $

જો $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ અને $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ હોય,તો સંકલન $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2+\log (36-12x+x^2)} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module