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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \fra

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$\log 3$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2n} f(\frac{r}{n})$ के रूप का रीमान योग है,जो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ के बराबर होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।अतः,$S = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} dx$ है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $S = [\ln(1+x)]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।$S = \ln(1+2) - \ln(1+0) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^4} + {3^4} + .... + {n^4}}}{{{n^5}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^3} + {3^3} + .... + {n^3}}}{{{n^5}}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ परिभाषित करें। तो,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

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