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Question

(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int

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$\frac{1}{5}$

Vedclass · Answer

(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_0^1 f(x) dx$. प्रथम पद के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^4}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}ight)^4 = \int_0^1 x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} ight]_0^1 = \frac{1}{5}$. द्वितीय पद के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^3}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}ight)^3 ight) = 0 	imes \int_0^1 x^3 dx = 0 	imes \frac{1}{4} = 0$. अतः,परिणाम $\frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$ है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^4} + {3^4} + .... + {n^4}}}{{{n^5}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^3} + {3^3} + .... + {n^3}}}{{{n^5}}} = $

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निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n-1}}{n \sqrt{n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

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