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Question

(B) माना $V = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने प

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$e^{\frac{\pi}{2}-2}$

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(B) माना $V = \lim _{n ightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}ight)ight]^{1 / n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log V = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1+\frac{k^2}{n^2}ight)$.यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \log(1+x^2)$:$\log V = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1}(x)$.$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:$\log V = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.अतः,$V = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2}-2}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

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