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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।योग को $\sum_{r

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$\frac{5-\sqrt{5}}{10}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।योग को $\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{n \sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}} \right) = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(1+\frac{4 r}{n})^{3 / 2}} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकल $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+4x)^{3/2}}$ में परिवर्तित हो जाता है।माना $z = 1+4x$, तो $dz = 4dx$, अतः $dx = \frac{dz}{4}$।जब $x=0, z=1$ और जब $x=1, z=5$।समाकल $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} z^{-3/2} dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{5} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{z}} \right]_{1}^{5}$ होगा।$= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{10}$।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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