a in mathbb{R} (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच | vedclass

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Question

(B,D) दिया गया सीमा $L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ है।सबसे पहले,हर का योग ज्ञात करें: $\sum_{r=1}^

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$5$

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(B,D) दिया गया सीमा $L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ है।सबसे पहले,हर का योग ज्ञात करें: $\sum_{r=1}^n (na+r) = n^2a + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2a + n^2 + n}{2} = \frac{n^2(2a+1) + n}{2}$.इस मान को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$L = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \cdot \frac{n^2(2a+1) + n}{2}} = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} n^2(2a+1) (1 + \frac{1}{n(2a+1)})}$.चूंकि $n 	o \infty$ होने पर $(n+1)^{a-1} \approx n^{a-1}$,व्यंजक हो जाता है:$L = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a-1} n^2 (2a+1)} = \lim_{n 	o \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a+1} (2a+1)} = \frac{2}{2a+1} \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}ight)^a$.निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ का उपयोग करते हुए:$L = \frac{2}{(2a+1)(a+1)} = \frac{1}{60}$.अतः,$(2a+1)(a+1) = 120 \implies 2a^2 + 3a + 1 = 120 \implies 2a^2 + 3a - 119 = 0$.द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-119)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 952}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{-3 \pm 31}{4}$.इससे हमें $a = \frac{28}{4} = 7$ या $a = \frac{-34}{4} = \frac{-17}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$a$ के मान $7$ और $\frac{-17}{2}$ हैं।

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$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \dots + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ का मान है

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ है,तो $\log k=$

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