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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4n^2 - r^2}}$ है।हम योग के अंदर के पद को $\frac{1}{\sqrt{n^2(4 -

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$\frac{\pi}{6}$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4n^2 - r^2}}$ है।हम योग के अंदर के पद को $\frac{1}{\sqrt{n^2(4 - (r/n)^2)}} = \frac{1}{n \sqrt{4 - (r/n)^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 - (r/n)^2}}$।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ है।इसलिए,$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx$।मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:$S = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{0}^{1} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{n}{{1 + {n^2}}} + \frac{n}{{4 + {n^2}}} + \frac{n}{{9 + {n^2}}} + .... + \frac{1}{{2n}}} \right]$ का मान क्या है?

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

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