એક માણસ $3$ માંથી $2$ વખત સાચું બોલે છે તેમ જાણીતું છે. જો તે પાસો ફેંકે અને જણાવે કે તે $6$ છે,તો તે ખરેખર $5$ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક થેલીમાં $6$ દડા છે. તેમાંથી યાદચ્છિક રીતે બે દડા કાઢવામાં આવે છે અને બંને કાળા માલૂમ પડે છે. થેલીમાં ઓછામાં ઓછા $5$ કાળા દડા હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક પેટીમાં $4$ કાળા,$2$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે. બીજી પેટીમાં $3$ કાળા અને $5$ સફેદ દડા છે. એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે. જો પાસા પર $1$ અથવા $2$ આવે,તો પ્રથમ પેટીમાંથી દડો કાઢવામાં આવે છે; અન્યથા,બીજી પેટીમાંથી દડો કાઢવામાં આવે છે. જો કાઢવામાં આવેલો દડો કાળો હોય,તો પાસા પર $2$ આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક નિદાન કસોટી જ્યારે કોઈ ચોક્કસ રોગથી પીડાતી વ્યક્તિ પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે હકારાત્મક પરિણામ આપવાની સંભાવના $0.95$ છે અને જ્યારે તે રોગ ન હોય તેવી વ્યક્તિને આપવામાં આવે ત્યારે હકારાત્મક પરિણામ આપવાની સંભાવના $0.10$ છે. એવું અનુમાન છે કે વસ્તીના $0.5 \%$ લોકો આ રોગથી પીડાય છે. જો આ કસોટી હવે આ વસ્તીમાંથી એવી વ્યક્તિ પર કરવામાં આવે કે જેના વિશે આ રોગના વ્યાપ અંગે કોઈ માહિતી નથી અને કસોટી હકારાત્મક પરિણામ આપે છે, તો તે વ્યક્તિ રોગથી પીડિત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

થેલી $I$ માં $3$ લાલ અને $4$ કાળા દડા છે. થેલી $II$ માં $5$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે. જો કોઈ એક થેલીમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો કાઢવામાં આવે અને તે લાલ રંગનો માલૂમ પડે, તો તે દડો થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના શોધો.

એક બોલ્ટ ફેક્ટરીમાં,મશીનો $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે કુલ બોલ્ટના $20 \%$,$30 \%$ અને $50 \%$ ઉત્પાદન કરે છે. તેમના ઉત્પાદનમાંથી અનુક્રમે $3 \%$,$4 \%$ અને $2 \%$ બોલ્ટ ખામીયુક્ત છે. ઉત્પાદનમાંથી એક બોલ્ટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો પસંદ કરેલ બોલ્ટ ખામીયુક્ત જણાય,તો તે મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?