एक व्यक्ति $3$ में से $2$ बार सच बोलता है। यदि वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह $6$ है,तो इसके वास्तव में $5$ होने की प्रायिकता क्या है?

तीन समान पात्रों $A, B, C$ में क्रमशः $2$ लाल और $3$ सफेद गेंदें; $3$ लाल और $2$ सफेद गेंदें; $1$ लाल और $4$ सफेद गेंदें हैं। यदि किसी एक पात्र से यादृच्छिक रूप से चुनी गई गेंद लाल है, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह पात्र $C$ से निकाली गई है?

$A, B, C$ एक यादृच्छिक प्रयोग की परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएं हैं और $E$ एक ऐसी घटना है जो $A, B, C$ में से किसी एक घटना के साथ घटित होती है। $A, B, C$ के घटित होने पर $E$ की सशर्त प्रायिकताएं क्रमशः $0.6, 0.3$ और $0.1$ हैं। यदि $P(A)=0.30$ और $P(B)=0.50$ है,तो $P(C \mid E)=$

थैला $A$ में $2$ सफेद और $3$ लाल गेंदें हैं। थैला $B$ में $4$ सफेद और $5$ लाल गेंदें हैं। एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है,जो लाल रंग की पाई जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह थैला $B$ से निकाली गई थी।

मान लीजिए $H_1, H_2, \ldots, H_{n}$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएं हैं जहाँ $P(H_i) > 0, i = 1, 2, \ldots, n$ है। मान लीजिए $E$ कोई अन्य घटना है जहाँ $0 < P(E) < 1$ है।
$\text{कथन}-1$: $P(H_i \mid E) > P(E \mid H_i) \cdot P(H_i)$ प्रत्येक $i = 1, 2, \ldots, n$ के लिए।
$\text{कथन}-2$: $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$ है।

एक निश्चित क्षेत्र में लोगों के सर्वेक्षण से पता चला कि $20 \%$ लोग धूम्रपान करने वाले थे। यदि कोई व्यक्ति धूम्रपान करता है तो फेफड़ों के कैंसर से मृत्यु की संभावना, उस संभावना से $10$ गुना थी जो तब होती है जब व्यक्ति धूम्रपान नहीं करता है। यदि क्षेत्र में फेफड़ों के कैंसर से मृत्यु की संभावना $0.006$ है, तो धूम्रपान करने वाले व्यक्ति के फेफड़ों के कैंसर से मरने की संभावना क्या है?