$9$ મહિલાઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. એવી સમિતિઓની સંખ્યા જેમાં મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય તે શોધો.

$12$ જગ્યાઓ ભરવા માટે $25$ ઉમેદવારો છે,જેમાંથી $5$ અનુસૂચિત જાતિના છે. જો $3$ જગ્યાઓ અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારો માટે અનામત હોય અને બાકીની જગ્યાઓ બધા માટે ખુલ્લી હોય,તો પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક પાત્રમાં $5$ લાલ લખોટીઓ,$4$ કાળી લખોટીઓ અને $3$ સફેદ લખોટીઓ છે. $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેમાં વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટીઓ હોય.

એક વિદ્યાર્થીને $(2n + 1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $63$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધાન-$1$: $10$ એકસમાન દડાને $4$ ભિન્ન ખોખામાં $^9C_3$ રીતે વહેંચી શકાય કે જેથી કોઈ ખોખું ખાલી ન રહે.
વિધાન-$2$: $9$ સ્થાનો પૈકી કોઈપણ $3$ સ્થાનો $^9C_3$ રીતે પસંદ કરી શકાય.

જો $\binom{n-1}{4}, \binom{n-1}{5}$ અને $\binom{n-1}{6}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો સંબંધ શોધો.