એક વિદ્યાર્થીને $(2n + 1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $63$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક ચૂંટણીમાં,ઉમેદવારોની સંખ્યા ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓ કરતા $1$ વધારે છે. જો મતદાર $254$ રીતે મતદાન કરી શકે,તો ઉમેદવારોની સંખ્યા કેટલી છે?

$9$ મહિલાઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. એવી સમિતિઓની સંખ્યા જેમાં મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય તે શોધો.

એક વિદ્યાર્થીને $(2n+1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી ઓછામાં ઓછા $(n+1)$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે,પરંતુ બધા પુસ્તકો નહીં. જો તે આ પુસ્તકોને પસંદ કરી શકે તે કુલ રીતોની સંખ્યા $255$ હોય,તો તે સંગ્રહમાં પુસ્તકોની સંખ્યા કેટલી છે?

$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી ${}^{(n-1)}C_6 + {}^{(n-1)}C_7 < {}^{n}C_8$ થાય.

$6$ ભારતીયો અને $8$ વિદેશીઓમાંથી એક વૈજ્ઞાનિક સમિતિ બનાવવાની છે,જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ ભારતીયો અને ભારતીયો કરતા બમણી સંખ્યામાં વિદેશીઓ હોય. તો સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?