$(a - b) \times (a + b) = $

सदिश $\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ को समकोण पर घुमाया जाता है,जो अपने रास्ते में $y$-अक्ष से होकर गुजरता है और परिणामी सदिश $\vec{b}$ है। तो $\vec{c}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ पर $3 \vec{a}+\sqrt{2} \vec{b}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है:

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}-7\hat{j}+\hat{k}$ द्वारा निर्धारित होती हैं।

मान लीजिए $m$ एक सदिश है जिसका परिमाण $\sqrt{3}$ है और यह $\hat{i}+\hat{j}$ और $\hat{j}-\hat{k}$ सदिशों के लंबवत है। मान लीजिए $n$ एक अन्य सदिश है जिसका परिमाण $2\sqrt{6}$ है और यह $2\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{j}+2\hat{k}$ सदिशों के लंबवत है। $m$ और $n$ को भुजाओं के रूप में लेकर बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$ तीन सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{r}$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है, और $\vec{r} \cdot \vec{a} = 11$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सदिश $\vec{r}$ के लंबवत है?